Accélération d'un point matériel

Vecteur accélération instantanée

On écrit le vecteur accélération instantanée :

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d^{2} \vec{O M}}{d t^{2}}

il représente le taux de variation du vecteur vitesse par unité de temps

Composantes dans différents repères

Coordonnées cartésiennes

\vec{a} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \vec{e_{x}} + \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \vec{e_{y}} + \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \vec{e_{z}}

Coordonnées cylindriques

voir Dérivation des vecteurs unitaires (par rapport au temps)#Dérivée du vecteur e theta

\vec{a} = (\overset{. .}{r} - r \dot{θ^{2}}) \vec{e_{r}} + (2 \dot{r} \dot{θ} + r \overset{. .}{θ}) \vec{e_{θ}} + \overset{. .}{z} \vec{e_{z}}

(démonstration : [[Poly Meca.pdf#page=65]])

Dans la base de Frenet

pour rappel, on avait défini dans Vitesse d'un point matériel :

\vec{v} = \frac{d l}{d t} \vec{u_{T}}

Ainsi,

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d^{2} l}{d t^{2}} \vec{u_{T}} + \frac{d l}{d t} \frac{d \vec{u_{T}}}{d t}

On peut y réécrire sous la forme : \frac{d^{2} l}{d t^{2}} \vec{u_{T}} + \frac{d l}{d t} \frac{d \vec{u_{T}}}{d l} \frac{d l}{d t} = \frac{d^{2} l}{d t^{2}} \vec{u_{T}} + (\frac{d l}{d t})^{2} \frac{d \vec{u_{T}}}{d l}

On identifie ensuite l'expression du vecteur uN, voir Base de Frenet

\vec{a} = \frac{d^{2} l}{d t^{2}} \vec{u_{T}} + (\frac{d l}{d t})^{2} \frac{\vec{u_{N}}}{R_{C}}

Ainsi, on peut exprimer l'accélération sous la forme :

\vec{a} = a_{T} \vec{u_{T}} + a_{N} \vec{u_{N}}

où :

a_{T} représente l’accélération tangentielle : a_{T} = \frac{d^{2} l}{d t^{2}} = \frac{d | | \vec{v} | |}{d t}

a_{N} représente l’accélération normale : a_{N} = (\frac{d l}{d t})^{2} = \frac{1}{R_{C}} = \frac{v^{2}}{R_{C}}

Remarque : si un point parcourt une trajectoire curviligne à vitesse ||v|| constante, alors l'accélération tangentielle est nulle, donc son vecteur accélération est toujours normal à la trajectoire, dirigé vers l'intérieur, et d'autant plus grand que le rayon de courbure Rc est petit.