Vitesse d'un point matériel

Vecteur vitesse intantanée

On définit le vecteur vitesse instantanée par la relation suivante :

\vec{v} = lim_{δ t \to 0} \frac{\vec{M M^{'}}}{δ t} = lim_{δ t \to 0} \frac{δ \vec{O M}}{δ t} = \frac{d \vec{O M}}{d t}

La vitesse est donc le taux de variation du vecteur position par unité de temps, en Physique, la vitesse désigne donc le vecteur vitesse instantanée

Expression dans les différents repères

Repérer la position de P#Les 3 principaux types de coordonnées

Dans le repère cartésien

On sait déjà que :

\vec{O M} (t) = x (t) \vec{e_{x}} + y (t) \vec{e_{y}} + z (t) \vec{e_{z}}

Alors, tout simplement,

\vec{v} (t) = \dot{x} (t) \vec{e_{x}} + \dot{y} (t) \vec{e_{y}} + \dot{z} (t) \vec{e_{z}}

(le "." au dessus d'une lettre symbolise la dérivée première de cette fonction par rapport au temps)

Dans le repère cylindrique

On sait déjà que :

\vec{O M} (t) = r (t) \vec{e_{r}} + z (t) \vec{e_{z}}

Alors, on peut écrire,

\vec{v} (t) = \frac{d r (t)}{d t} \vec{e_{r}} (t) + r (t) \frac{d θ (t)}{d t} \vec{e_{θ}} (t) + \frac{d z (t)}{d t} \vec{e_{z}}

Et donc, de manière physique :

\vec{v} (t) = \dot{r} \vec{e_{r}} + r \dot{θ} \vec{e_{θ}} + \dot{z} \vec{e_{z}}

(si besoin, voir Dérivation des vecteurs unitaires (par rapport au temps))

Composantes en fonction de l'abscisse curviligne

\vec{v} = \frac{d \vec{O M}}{d t} = \frac{d \vec{O M}}{d l} \frac{d l}{d t} = \frac{d l}{d t} \vec{u_{T}}

Cette relation traduit le fait que le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et que sa norme est :

| | \vec{v} | | = \frac{d l}{d t}

A partir de cette même relation, nous pouvons même trouver l'expression du vecteur unitaire tangent :

\vec{u_{T}} = \frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |}

voir Base de Frenet

Norme du vecteur vitesse instantanée

| | \vec{v} | | = \frac{d l}{d t} = \sqrt{(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} + (\frac{d z}{d t})^{2}} = \sqrt{(\frac{d r}{d t})^{2} + (r \frac{d θ}{d t})^{2} + (\frac{d z}{d t})^{2}}